تعليم

خصائص الاعداد الحقيقية

خصائص الاعداد الحقيقية هذا ما سوف نتحدث عنه لأن الغالبية العظمى من الأشخاص ليس لديها المعلومات الكافية عن الأعداد الحقيقة أو ما هي وكذلك الخصائص التي تميزها، لهذا سوف تطرح كل هذه الإجابات خلال موقعنا، حتى نوضح ما هي خصائص الأعداد الحقيقية وما هو الأساس العلمي الذي تصنف من أجله وذلك عبر موقع تفاصيل، فتابعونا.

ماهي الأعداد الحقيقية

هي مجموعة الأعداد الطبيعية التي تبدأ من الصفر إلى رقم موجب ما لا نهاية بوضع واحد صحيح في كل مرة إضافة الرقم الذي قبلة، وترجع تسميتها إلى أنه يمكن ملاحظتها في الطبيعة من حولنا.

أما عن مجموعة الأعداد الصحيحة فهي تشمل على الأعداد من سالب ما لا نهاية مضاف إليها مجموعة الأعداد الطبيعية بأضافة واحد صحيح كل مرة، وتكون الأعداد الكسرية من كسور الأعداد الصحيحة في أبسط من بسط ومقام.

الأعداد الحقيقية تشمل كل المجموعات السابقة مضاف إليها مجموعة الأعداد التي لا يمكن وضعها على شكل كسور مثل (الباي) الπ أي والأعداد اللا كسرية، وكذلك الجذر التربيعي الرقم الذي لا يعطي رقمًا صحيحًا، مثل الجذر التربيعي للرقم 2.

الأعداد الحقيقية يمكن تصورها على أنها أعداد غير متناهية موضوعة على خط مستقيم، وهذه الأعداد الحقيقية تاخذ اسمها من تضادها بنفس فكرة الأعداد التخيلية، بالإضافة أنها يمكن قياس الكميات المستمرة مع اختلافها.

حيث يمكن التعبير بالكسور العشرية التي تتواجد على سلسلة من الأرقام الغير منتهية في حالة الأرقام غير الكسرية أو غير دورية في حالة الأعداد الكسرية، وقد تم إنشاء فكرة الأعداد الحقيقية لوجود أطوال لا يمكن أن يتم التعبير عنها أو قياسها باستعمال أعداد كسرية أو أعداد صحيحة. 

اقرأ أيضًا: اروع طريقة لحفظ جدول الضرب بدون تعب

خصائص الاعداد الحقيقية

خصائص الاعداد الحقيقية
خصائص الاعداد الحقيقية

الأعداد الحقيقية تتمتع بوجود بمجموعةٍ من الخصائص وهذه الخصائص هي التي تميزها وتجعلها توضع أسفل قائمة الأعداد الحقيقية ومن هذه الخصائص ما يلي: 

خاصية الانغلاق Closure Properties 

هي أول خصائص الاعداد الحقيقية يتم تطبيق هذه الخاصية على كل العمليات الحسابية التي تتضمن الضرب والطرح والجمع، مما يعني أنّ ناتج طرح أو ضرب أو جمع أي عددين حقيقين هو بالتالي سوف يكون عدد حقيقيٍ، كما سوف بتوضيح في المثال (إذا كان لدينا عددين r,m فإن r+m أو r-m أو r×m) سيكون أي ناتج منهم هو عدد حقيقي وهذا ما يسمى الانغلاق. 

لكن هذه الخاصية لا يتم تطبيقها على عملية القسمة، كما هو في المثال الحال مع 4/0 أو 0/0، إذ أنّ العدد 5/0 غير معرف أو أنه ليس له معنى، أي أن لا يوجد عدد إذا قمت بعملية ضربه بالعدد صفر، سوف يعطي الناتج هو 4 ذلك، أو أنه يكون بمعنى أن ناتج ضرب أي عدد ب 0 هو نفسه 0، ولكن يختلف الأمر مع الأعداد الأخرى. 

الخاصية التبديلية

عند القيام تعني بجمع أي رقمين حقيقيين أو ضرب أي رقمين حقيقين معًا، فإنه من الممكن أن تتغيير ترتيب الرقمين دون أن يعطي نتيجة مختلفة أو أن يؤثر على النتيجة، مثال( عند جمع الرقمين  2 + 4 = 4 + 2) فإن النتيجة هي واحدة في كل الأحوال 6 وعند القيام بعملية ضرب(4× 2، 2×4) فإن الناتج هو نفسه في كل مرة 8 وهذا ما تعنيه الخاصية التبديلية. 

الخاصية التجميعية Associative  Properties

والخاصية التجميعية تعني أن ترتيب الأعداد غير مهمٍ، فعندما يكون لدينا ثلاثة أعداد حقيقية هي s,t,r وقمنا يجمعهم مع بعض أو بضربهم مع بعضهم البعض، سنحصل على النتيجة نفسها بغض النظر عن الأسلوب أو الطريقة التجميعية التي تم اتباعها أي: (r × t) × s = t ×(s ×r).

الخاصية التوزيعية

هذه الخاصية تعني توزيع الضرب على الجمع وهي تكون في العمليات الحسابية الجمع والطرح فقط، مثال على ذلك إذا وجد الرقم s,t,r وهذه العمليات قد تم جمعها وضربها بهذه الطريقة s × (t + r) = s × t + s × r. 

خاصية العنصر المحايد في الجمع (خاصية الهوية) 

تعد من أسهل خصائص الاعداد الحقيقية  التي يمكن فهمها والتعبير عنها وتطبيقها، وهي تعنى أن أي رقم حقيقي يتم جمعه مع العدد 0 يعطى نفس النتيجة وهي العدد نفسه، مما يعني أن الصفر هنا هو الرقم الحيادي، مثال r+0=r  m+0=m. 

خاصية النظير في الجمع

عند القيام بجمع العدد الحقيقي مع المعكوس الحقيقي له، ستكون النتيجة هي الصفر في كل الأحوال أي دائمًا فإذا كان D عدد حقيقي سيكون D + (-D) = 0 وهذا المعكوس يكون بالسلب أي جمع الرقم الحقيقة بالموجب مع نظيره بالسالب فإن الناتج هو 0 مع كل الأرقام الحقيقية. 

خاصية العنصر المحايد في الضرب

كما قدمنا ووضحنا خاصية العنصر المحايد في الجمع سوف نوضح خاصية العنصر المحايد في الضرب حيث أنه عند ضرب أي عدد مع الرقم الحقيقي 1 فإن الناتج هو العدد نفسه مع كل الأعداد وهذه يعتبر من خصائص الأعداد الحقيقية الأكثر فهمًا واستيعاب. 

خاصية النظير في الضرب

وهي خاصية  تعني أنّ عند القيام بضرب أي رقم حقيقيٍّ مقلوبه، سوف تكون الإجابة هي الرقم 1 في كل الحالات مثال ( b× 1/b) فإن الناتج هو 1. 

اقرأ أيضًا: الغاز رياضيات مع الحل

أمثلة عن خصائص الأعداد الحقيقية

سوف نقدم مجموعة من الأمثلة حتى نوضح كيفية استخدام هذه الخصائص في علاج وحل المسائل: 

المثال الأول

يريد حازم إجراء عملية الضرب: 5 × (13) ولكنه لا توجد معه أي آلة حاسبة، فقد قال أنه سوف يحل هذه المسألة من خلال خصائص الأعداد الحقيقية، وطريقة الحل كالتالي: 

  1. سوف يقوم بفضل الرقم 13 إلي (10+3).
  2. ومن ثم سوف يستعين بالخطوة الأولى بالخاصية التوزيعية (5×10)+(5×3). 
  3. سوف يقوم بعملتي الضرب كل واحدة على حدة وسوف يحصل علي 50+15.
  4. سوف تكون النتيجة 65
  5. وبهذه الطريقة بحصل على الناتج بكل سهولة.

المثال الثاني “حل خاطئ”

 تريد أسماء إجراء عملية قسمة العدد 40 على العدد 9 وهو كالآتي (40/9)، وهي لا تمتلك آلة حاسبة في هذا التوقيت، فأجرت الخطوات التالية للحصول على الحل الصحيح بمجموع من الخطوات، وهي: 

  • سوف يتم تقسيم الرقم 9 إلى رقمين هما الرقم 5,4  (40/(5+4)). 
  • قم بقسمة كل رقم على حده على الرقم 40 أي أنها سوف تكون بهذا الشكل (40/4) + (40/5) . 
  • الخطوة التالية هو بخصم كل من هذه المصروفات وجمعها مع بعضها وسوف يكون الناتج هو 10+8، وإن الناتج الحقيقي من عملية القسمة 9/40 هو 18.
  • ولكن هذه الرقم غير صحيح وهناك سبب لذلك لم يتم اكتشاف أثناء حل المسألة ولكن الغلط الذي حدث في الخطوة الثانية، وذلك لأن الخاصية التوزيعية يتم تطبيقها في حالة الأرقام مع عملية الضرب فقط ولا يمكن استخدامها في حالة القسمة، لهذا خرج الناتج غير صحيح. 

خصائص الاعداد الحقيقية هذا ما قمنا بتقديمه في السطور السابقة حيث أن هذه الخصائص يجب أن تعرف بشكل جيد حتى يتم استخدامها في حل المعادلات الحسابية بطريقة صحيحة، لأنه يمكن أن يتم استخدامها مع عمليات غير صحيحة مما يؤدي لأن المسألة سوف تفسد ولن يكون الحل صحيح. 

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

زر الذهاب إلى الأعلى